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$解：(1)过点D作DE⊥AB，过点B作BF⊥AD，垂足分别为E、F，如图所示$

$由题意得，AD//BC，AB//CD，DE=BF∴四边形ABCD是平行四边形$

$∵S_{▱ABCD}=AB·DE=AD·BF$

$又∵DE=BF$

$∴AB=AD$

$∴四边形ABCD是菱形$

$(2)如图所示$

$解：(1)∵ 四边形ABCD是菱形，$

$ ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，$

$OA=OC，OB=OD，∠DAO=∠BAO.$

$ 在△AOD中，∠AOD=90°，$

$ ∵OE是中线，$

$ ∴AE=BE=OE，$

$∴∠DAO =∠EOA.$

$ ∴∠BAO=∠EOA.$

$ ∴OE//AB.$

$ 又∵OG//EF，$

$ ∴四边形OEFG是平行四边形.$

$ ∵∠EFG=90°，$

$ ∴四边形OEFG是矩形.$

$ (2)易知OE=AD=5，AF=3，BG=10-3-5=2$

$解：(1)∵△ABE是等边三角形，$

$∴BA=BE，∠ABE=60°.$

$∵∠MBN=60°，$

$∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN，即∠BMA=∠NBE.$

$又∵MB=NB，$

$∴△AMB≌△ENB(SAS).$

$(2)①当点M落在BD的中点时，AM+CM的值最小.$

$②如图，连接CE，当点M位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小.$

$证明：连接MN.$

$由(1)知，△AMB≌△ENB，$

$∴AM=EN.$

$∵∠MBN=60°，MB=NB，$

$∴△BMN是等边三角形.$

$∴BM=MN.$

$∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.$

$根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短.$

$∴当点M位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长$

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