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$解:(1)设S=-1-2-3-4-...-199-200①,$

$则S=-200-199- 198-197-...-2-1②.$

$由①+②,得2S=- 201×200,$

$即2S=-40200,$

$所以S=-20100,$

$即-1-2-3-4-....-199-200=-20100$

$(2)令S=1+5+5²+5³+...+{5}^{218}①, $

$5S=5+5²+5³+...+{5}^{219}②$

$②-①得:4S={5}^{219}-1$

$所以S=\frac{{5}^{219}-1}{4}$

$所以1+5+5²+5³+...+{5}^{217}+{5}^{218}=\frac{{5}^{219}-1}{4}$

$解:设S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2²}+\frac{1}{2³}+....+\frac{1}{{2}^{2024}}①$

$\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2²}+\frac{1}{2³}+...+\frac{1}{{2}^{2025}}②$

$所以①-②得:\frac{1}{2}S=1-\frac{1}{{2}^{2025}}$

$所以S=2-\frac{1}{{2}^{2024}}$

$所以1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2²}+\frac{1}{2³}+...+\frac{1}{{2}^{2024}}=2-\frac{1}{{2}^{2024}}$

$解:(1)原式=\frac{1}{4}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+...+\frac{1}{55}-\frac{1}{59})$

$=\frac{1}{4}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{59})$

$=\frac{14}{177}$

$ 解:(2)原式=-\frac{1}{1×3}-\frac{1}{3×5}-\frac{1}{5×7}-\frac{1}{7×9}-\frac{1}{9×11}-\frac{1}{11×13}$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13})$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{13})$

$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{6}{13}$