解：$(1)$由于木块漂浮，
所以$F_{浮}=G，$
根据$F_{浮}=ρgV_{排}、$$G=mg $和$ρ=\frac {m}{V}$可得：
$ρ_{水}\ \mathrm {g}×(1-\frac {2}{5})V_{木}=ρ_{木}\ \mathrm {gV}_{木}，$
则木块的密度：
$ρ_{木}=\frac {3}{5}ρ_{水}=\frac {3}{5}×10^3\ \mathrm {kg/m^3}=0.6×10^3\ \mathrm {kg/m^3}；$
$(2)$在图甲中，木块和石块整体二力平衡，即：
$(m_{石}+m_{木})g=ρ_{水}\ \mathrm {g}(V_{石}+\frac {4}{5}\ \mathrm {V}_{木})----①$
在图乙中，木块和石块整体二力平衡，即：$(m_{石}+m_{木})g=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{木}-----②$
联立①②解得：$V_{石}=\frac {1}{5}\ \mathrm {V}_{木}，$
因$ρ_{木}=\frac {3}{5}ρ_{水}，$且$m_{木}=ρ_{木}\ \mathrm {V}_{木}，$则代入②式可得：$(m_{石}+\frac {3}{5}ρ_{水}×V_{木})g=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{木}，$
化简可得：$m_{石}=\frac {2}{5}ρ_{水}\ \mathrm {V}_{木}，$
则石块的密度$ρ_{石}=\frac {m_{石}}{V_{石}}=\frac {\frac {2}{5}ρ_{水}\ \mathrm {V}_{木}}{\frac {1}{5}\ \mathrm {V}_{木}}=2ρ_{水}=2×10^3\ \mathrm {kg/m^3}.$
