解：$(1)$铜的密度$ρ_{铜}=8.9×10^3\ \mathrm {kg/m^3}=8.9\ \mathrm {g/cm^3}，$
由$ρ=\frac {m}{V}$知道，空心铜球中铜的体积
$V_{铜}=\frac {m_{球}}{ρ_{铜}}=\frac {267\ \mathrm {g}}{8.9\ \mathrm {g/cm^3}}=30\ \mathrm {cm^3}，$
在铜球的空心部分注满水后水的质量
$m_{水}=m_{总}-m_{球}=417\ \mathrm {g}-267\ \mathrm {g}=150\ \mathrm {g}，$
因在铜球的空心部分注满水后水的体积和空心部分的体积相等，所以，空心铜球的空心部分的体积
$V_{空}=V_{水}=\frac {m_{水}}{ρ_{水}}=\frac {150\ \mathrm {g}}{1.0\ \mathrm {g/cm^3}}=150\ \mathrm {cm^3}，$
故这个铜球的体积$V_{球}=V_{铜}+V_{空}=30\ \mathrm {cm^3}+150\ \mathrm {cm^3}=180\ \mathrm {cm^3}；$
$(2)$在铜球的空心部分注满某种液体后液体的质量
$m_{液}=ρ_{液}\ \mathrm {V}_{空}=1.1\ \mathrm {g/cm^3}×150\ \mathrm {cm^3}=165\ \mathrm {g}；$
$(3)$设金属颗粒的密度是$ρ_{金属}，$体积是$V_{金属}，$注入的水的体积是$V_{水}'，$则有：
$m_{总}=m_{球}+m_{金属}+m_{水}'……①$
$V_{球}=V_{铜}+V_{金属}+V_{水}'……②$
$m_{金属}=ρ_{金属}\ \mathrm {V}_{金属}……③$
$m_{水}'=ρ_{水}\ \mathrm {V}_{水}'……④$
由①②③④代入数据，解得：$V_{水}'=50\ \mathrm {cm^3}，$$V_{金属}=100\ \mathrm {cm^3}，$$m_{金属}=270\ \mathrm {g}，$$ρ_{金属}=2.7\ \mathrm {g/cm^3}.$
