解：$(1)$∵$ ∠ACB = 90°$
∴$ ∠BAC + ∠ABC = 90°$
∵$∠BAC=45°$
∴$∠ABC=45°$
∵$MN//GH$
∴$∠BAN= ∠ABC=45°$
$(2)$∵$∠DFE=90°$
∴$ ∠DEF+∠EDF= 90°$
∵$∠EDF=30°$
∴$∠DEF=60°$
∵$∠DEF=∠EAF+∠AFE$
∴$ ∠AFE =∠DEF -∠EAF =60°-45°=15°$
$(3)$由题意，可知$∠AFD=90°$或$∠FAD=90°$
①当$∠AFD= 90°$时，如图①
∴$∠FAD+∠ADF=90°$
∵$∠ADF=30°$
∴$ ∠FAD=60°$
∴$∠FAN=∠FAD-∠BAN=60°-45°=15°$
②当$∠FAD =90°$时，如图②
∴$ ∠FAN =∠FAD-∠BAN=90°-45°=45°$
综上所述：$∠FAN$的度数为$15°$或$45° $
