解：$(2)$∵$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=32，$
$a+b=16$
∴$a-b=2$
∴转化为一个二元一次方程组为$\begin{cases}{a+b=16}\\{a-b=2}\end{cases}$
$(3)$解$\begin{cases}{a+b=16}\\{a-b=2}\end{cases}，$得$\begin{cases}{a=9}\\{b=7}\end{cases}$
∴两个正方形的面积分别为$a^2=9^2=81、$
$b^2=7^2=49$
