第51页 - 苏科版九年级数学课课练答案（上下册）

证明$：(1)$设正方形边长为$4x ，$

则$CF= DF= 2x，$$BE= 3x， CE= x$

$AE²=AB²+BE²=16x²+ 9x²= 25x²$

$AF²+ EF²= AD²+DF²+FC²+EC²=16x²+4x²+4x²+x²= 25x²$

所以$AE²= AF²+ EF²$

$(2)$由$(1)AE= 5x， AF= 2\sqrt{5}x ， EF=\sqrt{5}x$

$AD= 4x，$$DF= 2x$

所以$\frac {AE}{AF}=\frac {AF}{AD}=\frac {EF}{DF}=\frac {\sqrt{5}}{2}$

所以$△AEF∽△AFD$

$证明：因为DE//BC$

$所以\frac {AD}{AB}=\frac {AE}{AC}$

$因为EF//DC$

$所以\frac {AF}{AD}=\frac {AE}{AC}$

$所以\frac {AD}{AB}=\frac {AF}{AD}$

$所以AD²= AF×AB$

$解：存在$

$因为正方形ABCD的边长为4\ \mathrm {cm}$

$所以AD=CD=4\ \mathrm {cm}，∠ADC= 90°$

$因为DF⊥DE$

$所以∠EDF=90°$

$所以∠ADE=∠CDF$

$①当\frac {AD}{CD}=\frac {DE}{DM}时， △ADE∽△CDM$

$因为AD=CD=4\ \mathrm {cm}，DE=3\ \mathrm {cm}$

$所以\frac {4}{4}=\frac {3}{DM}$

$所以DM= 3\ \mathrm {cm}$

$②当\frac {AD}{DM}=\frac {DE}{CD}时，△ADE∽△CDM$

$因为AD=CD=4\ \mathrm {cm}，DE= 3\ \mathrm {cm}$

$所以\frac {4}{DM}=\frac {3}{4}$

$所以DM =\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}$

$综上所述，存在点M使得以C、D、M为顶点的三角形与△ADE$

$相似，此时DM的长为3\ \mathrm {cm}或\frac {16}{3}\ \mathrm {cm}$.