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第57页

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$25：9$

$3：5$

$解：由∠BAC=∠CAD，∠ACB=∠ADC= 90°$

$得△ABC∽△ACD $

$所以\frac {AB}{AC}=\frac {BC}{CD}=\frac {3}{2}$

$因为CF和DE分别是△ABC、ACD斜边上的中线$

$所以CF=\frac {1}{2}AB，DE=\frac {1}{2}AC，$

$所以\frac {CF}{DE}=\frac {AB}{BC}=\frac {3}{2}$

$解：因为∠C'A'B= ∠CAB，∠C'BA'=∠CBA$

$所以△ABC与阴影部分的三角形相似$

$因为阴影部分面积是△ABC的面积的一半，$

$所以AB： A'B=\sqrt{2}： 1$

$所以A'B= 1，$

$所以AA' =\sqrt{2}-1$

$解：①如图①， EF//AB$

$所以\frac {EF}{AB}=\frac {CI}{CD}$

$AB=\sqrt{8²+6²}= 10， CD=\frac {8×6}{10}= 4.8$

$设正方形边长为：x\ \mathrm {cm} ，$

$\frac {x}{10}=\frac {4.8}{4}-8，$

$解得x= \frac {120}{37}$

$②如图②，可得△AED∽△DFB∽△ACB$

$设正方形边长为n\ \mathrm {cm}$

$则AD=\frac {5}{3}n，BD=\frac {5}{4}n$

$AB=\frac {5}{3}n+\frac {5}{4}n=10$

$解得n=\frac {24}{7}$

$\frac {120}{37}≈3.2；\frac {24}{7}≈3.4$

$所以\frac {24}{7}＞\frac {120}{37}$

$所以图②中正方形即为所求，边长为\frac {24}{7}$

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