第11页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$∵$a=-1< 0$

∴图像开口向下

∵$y=-(x-2)^2+3$

∴顶点坐标是$(2，$$3)$

$(2)$∵对称轴为直线$x=2，$图像开口向下，$y$随$x$增大而减小

∴$x$的取值范围为$x> 2 $

$(3)$∵抛物线的对称轴为直线$x=2，$满足$1< x< 4$

∴此时$y$的最大值为$3$

∵当$x=1$时，$y=2；$当$x=4$时，$y=-1$

∴当$1< x< 4$时，$y$的取值范围是$-1< y≤3$

解：$(1)$∵抛物线$y=a(x-3)^2+2$经过点$(1，$$-2)$

∴$-2=a(1-3)^2+2$

∴$a=-1 $

$(2)$∵$y=-(x-3)^2+2$

∴此函数的图像开口向下

当$x< 3$时，$y$随$x$增大而增大，当$x> 3$时，$y$随$x$增大而减小

∵点$A(m，$$y_{1})、$$B(n，$$y_{2})(m< n< 3)$都在该抛物线上

∴$y_{1}< y_{2}$

解：$(1)$当$m=2$时，$y=- \frac {1}{2} (x-4)^2-1$

∵点$A(6，$$n)$在该函数的图像上

∴$n=- \frac {1}{2} (6-4)^2-1=-3 $

$(2)$若顶点是$(2，$$-1)，$则$2m=2①，$$1-m=-1②$

由①得$m=1，$由②得$m=2$

故小明的说法错误

$(3)$∵$P、$$Q $两点的纵坐标相等

∴对称轴为直线$x=\frac {a+1+4\ \mathrm {m}-7+a}{2}=a+2m-3$

∴$a+2m-3=2m$

∴$a=3$

∴$P(4，$$c)$

∴$c=- \frac {1}{2} (4-2m) ^2+1-m=-2(m-\frac {7}{4} ) ^2-\frac {7}{8}$

∵$-2(m-\frac {7}{4})^2 ≤0$

∴$c≤-\frac {7}{8}$

解：$(1)$由表格可知，将点$(1，$$2)$和点$(2，$$1)$代入函数解析式

得$\begin{cases}{a(1-2)^2+k=2}\\{a(2-2)^2+k=1}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=1}\\{k=1}\end{cases}$

∴$y_{1}=(x-2)^2+1$

$(2) $由题意，得$y_{2}=(x-2+2)^2+1=x^2+1$

把点$A(m，$$n_{1})、$$B(m+1，$$n_{2})$分别代入$y_{1}、$$y_{2}$的表达式中，

$n_{1}=(m-2)^2+1=\ \mathrm {m^2}-4m+5，$$n_{2}=(m+1)^2+1=\ \mathrm {m^2}+2\ \mathrm {m}+2$

∴$n_{1}-n_{2}=(\ \mathrm {m^2}-4m+5)-(\ \mathrm {m^2}+2m+2)=-6m+3$

当$-6m+3> 0$时，$m< \frac {1}{2}；$当$-6m+3=0$时，$m=\frac {1}{2}；$当$-6m+3< 0$时，$m> \frac {1}{2}$

∴当$m< \frac {1}{2} $时，$n_{1}-n_{2}> 0，$即$n_{1}> n_{2}；$

当$m=\frac {1}{2} $时，$n_{1}-n_{2}=0，$即$n_{1}=n_{2}；$

当$m>\frac {1}{2} $时，$n_{1}-n_{2}< 0，$即$n_{1}< n_{2}$