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解：令$2(k+1)x^2+4kx+2k-3=0$为一元二次方程

则$k+1≠0，$即$k≠-1$

$△=(4k)^2-4×2(k+1)×(2k-3)=16k^2-8(2k^2-k-3)=8k+24$

$(1)$若抛物线与$x$轴有两个交点，则一元二次方程有两个不相等的实数根

∴$8k+24＞0$

∴$k＞-3$且$k≠-1$

$(2)$若抛物线与$x$轴有唯一交点，则一元二次方程有两个相等的实数根

∴$8k+24=0$

∴$k=-3$

$(3)$若抛物线与$x$轴没有交点，则一元二次方程无实数根

∴$8k+24＜0$

∴$k＜-3$

$(1)$证明：令$y=0，$即$a(x-1)(x-1-a)=0$

∵$a≠0$

∴$x-1=0$或$x-1-a=0，$即$x_{1}=1，$$x_{2}=1+a$

∵$1≠1+a$

∴方程有两个不相等的实数根

∴该函数的图像与$x$轴总有两个公共点

$(2)$∵点$(0，$$y_{1})、$$(3，$$y_{2})$在函数图像上

∴$y_{1}=a^2+a，$$y^2=-2a^2+4a$

∴$y_{1}-y_{2}=a^2+a+2a^2-4a=3a^2-3a$

∴当$a< 0$或$a> 1$时，$y_{1}> y_{2}$

当$a=1$时，$y_{1}=y_{2}；$

当$0< a< 1$时，$y_{1}< y_{2}$

解：$(1) $令$y=0，$则$(x-2a)(x-b-1)=0$

∴$x=2a，$$x=b+1$

∵函数的图像与$x$轴只有一个交点

∴$2a=b+1，$即$a=\frac {b+1}{2}$

$ (2)$∵$a=1$

∴$y=(x-2)(x-b-1)=x^2-(b+3)x+2b+2$

∴二次函数图像的对称轴为直线$x=\frac {b+3}{2}$

∵当$x> 3$时，$y$随$x$增大而增大，$1> 0$

∴$\frac {b+3}{2} ≤3，$解得$b≤3$

$ (3)$∵$a=m，$$b=1-m$

∴$y=(x-2m)(x+m-2)$

令$y=0，$∴$x=2m，$$x=2-m$

∵该图像不经过第三象限

∴当该图像与$x$轴只有一个交点时，$2m=2-m，$解得$m=\frac {2}{3}；$

当该图像与$x$轴有两个交点时，$x_{1}+x_{2}> 0，$$x_{1}x_{2}≥0，$即$2m+2-m> 0，$$2m(2-m)≥0$

解得$0≤m≤2$

综上所述，$m $的取值范围是$0≤m≤2$

解：$(1)$∵$a=b，$$c=0$

∴$y=ax^2+ax$

令$ax^2+ax=0，$解得$x=0$或$x=-1$

∴抛物线$y=ax^2+bx+c $与$x$轴的交点坐标为$(0，$$0)、$$(-1，$$0)$

$ (2)$∵$n=\ \mathrm {m^2}-mb+c$

∴$A(m-b，$$\ \mathrm {m^2}-mb+c)$

将点$A$的坐标代入抛物线$y=ax^2+bx+c$

∴$a(m-b)^2+b(m-b)+c=\ \mathrm {m^2}-mb+c$

整理，得$(m-b)^2(a-1)=0$

∵$m≠b$

∴$a=1$

∴$y=x^2+bx+c，$$b^2-4ac=b^2-4c=0$

∴$b^2=4c $

$(3)$∵$y=x^2+bx+c，$将$(-1，$$0)$代入，得$b=1+c$

∴$(1+c)^2=4c$

∴$c=1，$$b=2$

∴$n=\ \mathrm {m^2}-mb+c=(m-1)^2$

∴当$m=1$时，$n$有最小值$0$

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