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证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AB//CD，$$AD//BC$

∴$∠C+∠B=180°，$$∠ADF=∠DEC$

∵$∠AFD+∠AFE=180°，$$∠AFE=∠B$

∴$∠AFD=∠C$

∴$△ADF∽△DEC$

$(1)$解：∵$D、$$E$分别是$AC、$$BC$的中点

∴$DE//AB，$$DE=\frac {1}{2}\ \mathrm {AB}=5$

∵$DE//AB$

∴$∠DEC=∠B$

∵$∠F=∠B$

∴$∠DEC=∠F$

∴$DF=DE=5$

$(2)$证明：∵$AC=BC$

∴$∠A=∠B$

∵$∠CDE=∠A，$$∠CED=∠B$

∴$∠CDE=∠B$

∵$∠B=∠F$

∴$∠CDE=∠F$

∵$∠CED=∠DEF$

∴$△CDE∽△DFE$

$(1)$证明：如图，在矩形$ABCD$中，$OD=OC，$$AB//CD，$$∠BCD=90°$

∴$∠2=∠3=∠4，$$∠3+∠5=90°$

∵$DE=BE$

∴$∠1=∠2$

又∵$BE$平分$∠CBD$

∴$∠1=∠6$

∴$∠3=∠6$

∴$∠6+∠5=90°$

∴$BF⊥AC $

$(2) $与$△OBF $相似的三角形有$△ECF、$$△BAF ，$理由：

∵$∠1=∠2，$$∠2=∠4$

∴$∠1=∠4$

又∵$∠AFB=∠BFO$

∴$△ABF∽△BOF$

∵$∠1=∠2，$$∠2=∠3$

∴$∠1=∠3$

又∵$∠EFC=∠BFO$

∴$△ECF∽△OBF$

B

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