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证明：$(1)$∵$AD//BC$

∴$∠ACF=∠DAC$

∵$∠FAC=∠ADE，$$AC=AD$

∴$△ACF≌△DAE(\mathrm {ASA})$

∴$AF=DE$

$(2)$∵$△ACF≌△DAE$

∴$∠AFC=∠DEA$

∴$∠AFB=∠DEC$

∵$∠ABC=∠CDE$

∴$△ABF∽△CDE$

∴$\frac {AF}{CE}=\frac {BF}{DE}$

∴$AF·DE=BF·CE$

∵$AF=DE$

∴$AF^2=BF·CE$

$(1)$证明：∵$AG⊥BC，$$AF⊥DE$

∴$∠AFE=∠AGC=90°$

∵$∠EAF=∠GAC$

∴$∠AED=∠ACB$

∵$∠EAD=∠CAB$

∴$△ADE∽△ABC $

$(2) $由$(1)$可知$△ADE∽△ABC$

∴$\frac {AE}{AC}=\frac {AD}{AB}=\frac {3}{5}$

由$(1)$可知$∠AFE=∠AGC=90°$

∵$∠EAF=∠GAC$

∴$△EAF∽△CAG$

∴$\frac {AF}{AG}=\frac {AE}{AC}$

∴$AF：$$AG=\frac {3}{5}$

证明：$(1) $连接$OC$

∵$AC$平分$∠DAB$

∴$∠DAC=∠EAC$

∵$OA=OC$

∴$∠OCA=∠EAC$

∴$∠DAC=∠OCA$

∴$OC//AD$

∵$CD⊥AD$

∴$OC⊥CD$

∵$OC$是$⊙O$的半径

∴$CD$是$⊙O$的切线

$(2)$∵$AC$平分$∠DAB$

∴$∠DAC=∠EAC$

又∵$CD⊥AD，$$FG⊥AB$

∴$∠AGF=∠D=90°$

∴$∠AFG+∠DAG=90°，$$∠E+∠DAE=90°$

∴$∠AFG=∠E$

∴$△AHF∽△ACE$

∴$\frac {AH}{AC}=\frac {AF}{AE}，$即$AF·AC=AE·AH$

解：$(1) $由题意，可得$∠AOB=90°，$$OA=8，$$OB=6$

∴$AB=10$

∵$C$是线段$AB$的中点

∴$AC=5$

①如图①，如果点$P $与点$B$对应，那么$△PAC∽△BAO$

∴$\frac {PA}{BA}=\frac {AC}{AO}$

∴$PA=\frac {25}{4}$

∴$OP=OA-PA=\frac {7}{4}$

∴$P(\frac {7}{4} ，$$0)$

②如图②，如果点$P $与点$O$对应，那么$△PAC∽△OAB$

∴$\frac {PA}{OA}=\frac {AC}{AB}$

∴$PA= 4$

∴$OP=OA-PA=4$

∴$P(4，$$0)$

综上所述，点$P$的坐标为$(\frac {7}{4}，$$0 ) $或$(4，$

$0)$

$(2)M(\frac {8}{3} ，$$0)$

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