$(1)$解：设直线$AB$对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)，$
将$A(3，$$2)、$$B(6，$$4)$代入，得$\begin{cases}{3k+b=2}\\{6k+b=4}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{k=\dfrac {2}{3}}\\{b=0}\end{cases}$
∴直线$AB$对应的函数表达式为$y=\frac {2}{3} x$
根据题意，得$E(5，$$2)、$$N(10，$$4)$
设直线$EN$对应的函数表达式为$y=px+q(p≠0)$
将点$E、$$N$的坐标代入，得$\begin{cases}{5p+q=2}\\{10p+q=4}\end{cases}，$解得$\begin{cases}{p=\dfrac {2}{5}}\\{q=0}\end{cases}$
∴直线$EN$对应的函数表达式为$y=\frac {2}{5} x $
$(2)$∵四边形$ACDE$是边长为$2$的正方形，四边形$BGMN$是边长为$4$的正方形
∴$∠CAE=∠GBN=90°，$$∠ACD=∠BGM=90°，$$∠CDE=∠GMN=90°，$$∠AED=∠BNM=90°$
∵$\frac {AC}{BG}=\frac {CD}{GM}=\frac {DE}{MN}=\frac {AE}{BN}=\frac {2}{4}=\frac {1}{2}$
∴正方形$ACDE∽$正方形$BGMN$
又∵直线$AB、$$EN、$$CG、$$DM$都经过点$O$
∴正方形$ACDE$和正方形$BGMN$是位似图形
$(3) $如图，正方形$PN'B'G'、$正方形$PN''B''G''$即为所求
