$ \begin{aligned} 解:原式&=(9a^2+b^2)(9a^2-b^2) \\ &=(9a^2+b^2)(3a+b)(3a-b). \\ \end{aligned}$ 解:原式=[2(a+b)+3(a-b)][2(a+b)-3(a-b)] =(5a-b)(5b-a). 解:原式=[4(m-n)+3(m+n)][4(m-n)-3(m+n)] =(7m-n)(m-7n). 解:设阴影部分的面积为S, 根据题意,得S=a²-b²=(a+b)(a-b), 当a=6.25,b=3.75时, S=(6.25+3.75)(6.25-3.75)=10×2.5=25(平方厘米). 答:阴影部分的面积为25平方厘米.
$解:(1-\frac{1}{2²})(1-\frac{1}{3²})×···×(1-\frac{1}{n²})$ $=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{n-1}{n}×\frac{n+1}{n}$ $=\frac{1}{2}×\frac{n+1}{n}$ $=\frac{n+1}{2n}.$ $当n=2021时,上式=\frac{2021+1}{2×2021}=\frac{1011}{2021}.$
$解:因为28=8²-6²,$ $所以28是“神秘数” .$ $设50=(2k+2)²-(2k)²,$ $所以8k+4=50,$ $所以k=\frac{23}{4}, $ $所以2k不是整数,$ $所以50不是“神秘数” .$ $故28是“神秘数”,且28=8²-6²,$ $50不是“神秘数”.$
解:“神秘数”是4的倍数. 理由如下: 因为(2k+2)²-(2k)²=8k+4=4(2k+1), 2k+1是奇数, 所以4(2k+1)是4的倍数, 故“神秘数”是4的倍数.
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