解:原式=[1-3(a-1)]² =(4-3a)². 解:原式=[(2x-5)+3]² =(2x-2)² =4(x-1)². 解:原式=-[(a+b)²-4(a+b)+4] =-(a+b-2)².
$解:原式=x²-2x+1+x²+\frac{2}{3}x=2x²-\frac{4}{3}x+1. $ $因为3x²-2x-3=0,所以x²-\frac{2}{3}x=1,$ $所以原式=2(x²-\frac{2}{3}x)+1=2×1+1=3.$
解:小明的猜想正确. 理由:a²-6a+11=a²-6a+3²+2=(a-3)²+2. 因为(a-3)²≥0,所以(a-3)²+2≥2, 所以当a为任意整数时,a²-6a+11的值都是正数.
解:(-1)²+0²+1²+2²+3²=1+0+1+4+9=15,15÷5=3, 即(-1)²+0²+1²+2²+3²的结果是5的3倍.
$解:设五个连续整数的中间一个为n,$ $则其余的4个整数分别是n-2,n-1,n+1,n+2,$ $它们的平方和为(n-2)^2+(n-1)^2+n^2+(n+1)^2+(n+2)^2$ $=n^2-4n+4+n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4$ $=5n^2+10.$ $因为5n^2+10=5(n^2+2),$ $又n是整数,$ $所以n^2+2是整数,$ $所以五个连续整数的平方和是5的倍数.$
$解:余数是2.理由:$ $设三个连续整数的中间一个为n,则其余的2个整数是n-1,n+1,$ $它们的平方和为(n-1)^2+n^2+(n+1)^2$ $=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1$ $=3n^2+2. $ $因为n是整数,所以m是整数,$ $所以任意三个连续整数的平方和被3除得的余数是2.$
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