第8页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：过点$P$作$PH$垂直$EF，$垂足为$H$

∵$AB⊥EF，$$PH⊥EF，$$CD⊥EF$

∴$AB//HP，$$CD//HP$

∴$△ABM∽△PHM，$$△CDN∽△PHN$

∴$\frac {AB}{HP}=\frac {MB}{MH}，$$\frac {CD}{PH}=\frac {DN}{HN}$

∴$HP=\frac {AB · MH}{MB}，$$HP=\frac {CD · HN}{DN}$

∴$\frac {AB · MH}{MB}=\frac {CD · HN}{DN}$

∵$AB=2m，$$BM=1.6m，$$CD=1m，$$DN=0.8m，$$MN=8.8m$

设$MH=x\ \mathrm {m}，$则$NH=(8.8-x)m$

∴$\frac {2x}{1.6}=\frac {1×(8.8-x)}{0.8}$

∴$x=4.4$

∴$HP=\frac {2x}{1.6}=\frac {4.4}{0.8}=5.5(\mathrm {m})$

∴深坑深度$5.5$米

$(1)$证明：∵$∠CDE=∠BDA，$$∠A=∠E$

∴$△CED∽△BAD$

$(2)$解：如图，过点$D$作$DF⊥EC$于点$F$

∵$△ABC$是边长为$6$等边三角形

∴$∠A=60°，$$AC=AB=6$

∵$DC=2AD$

∴$AD=2，$$DC=4$

∵$△CED∽△BAD$

∴$\frac {EC}{DE}=\frac {AB}{AD}=\frac {6}{2}=3$

∴$EC=3DE$

∵$∠E=∠A=60°，$$DF⊥EC$

∴$∠EDF=90°-60°=30°$

∴$DE=2EF$

设$EF=x，$则$DE=2x，$$DF=\sqrt {3}x，$$EC=6x$

∴$FC=5x$

在$Rt△DFC$中，$DF^2+FC^2=DC^2$

∴$(\sqrt {3}x)^2+(5x)^2=4^2$

解得：$x=\frac {2\sqrt 7}7$或$x=-\frac {2\sqrt {7}}7($不符合题意，舍去)

∴$EC=6x=\frac {12\sqrt {7}}7$

$(1)$证明：∵$AB=AC$

∴$∠B=∠C$

∵$△ABC≌△DEF$

∴$∠AEF=∠B$

∵$∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE$

∴$∠CEM=∠BAE$

∴$△ABE∽△ECM$

$ (2) ①$当$DE⊥BC$时，∵$AB=AC$

∴$∠BAE=∠EAM$

∵$△ABC≌△DEF$

∴$∠B=∠DEF$

∴$△ABE∽△AEM$

∴$\frac {AB}{AE}=\frac {AE}{AM}，$$∠AME=∠AEB=90°$

∵$AB=AC=5，$$DE⊥BC，$$BC=6$

∴$BE=EC= \frac 12BC=3$

在$Rt△ABE$中，$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$

∴$\frac {5}{4}=\frac {4}{AM}$

∴$AM=\frac {16}{5}$

∴$CM=AC-AM=5- \frac {16}{5}=\frac {9}{5} $

②在$Rt△AEM$中，$EM=\sqrt{AE^2-AM^2}=\sqrt{4^2-(\frac {16}{5})}=\frac {12}{5}$

∴$S_{△AEM}= \frac 12AM·EM= \frac {1}{2}× \frac {16}{5}× \frac {12}{5}= \frac {96}{25}$

∴叠部分的面积为$ \frac {96}{25} $

$(3)$∵$∠AEF=∠B=∠C，$且$∠AME> ∠C$

∴$∠AME> ∠AEF$

∴$AE≠AM$

当$AE=EM$时，$△ABE≌△ECM$

∴$CE=AB=5$

∴$BE=BC-EC=6-5=1$

当$AM=EM$时，$∠MAE=∠MEA$

∴$∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，$即$∠CAB=∠CEA$

又∵$∠C=∠C$

∴$△CAE∽△CBA$

∴$\frac {CE}{CA}=\frac {CA}{CB}$

∴$CE=\frac {CA^2}{CB}=\frac {25}{6}$

∴$BE=6- \frac {25}{6}=\frac {11}{6}$

∴$BE=1$或$BE=\frac {11}{6}$