解：如图所示，剪下的两个小矩形纸片的周长之和最大
其中一个小矩形的长为$1，$则宽为$\frac 1{2\sqrt 2}=\frac {\sqrt 2}4$
另一个小矩形的长为$2\sqrt 2-\frac {\sqrt 2}4=\frac 74\sqrt 2$
$\frac {宽为\frac 74\sqrt 2}{2\sqrt 2}=\frac {7}{8}$
两小矩形的周长之和：$(1+\frac {\sqrt 2}4+\frac 74\sqrt 2+\frac {7}{8})=4\sqrt 2+\frac {15}{4}$
答：所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值为$4\sqrt 2+\frac {15}{4}$
