第53页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

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解：∵$AF//BC$

∴$∠F=∠E$

∵点$D$是$AB$的中点

∴$AD=BD$

在$△ADF $和$△BDE$中

$\begin{cases}{∠F=∠E}\\{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\end{cases}$

∴$△ADF≌△BDE(\mathrm {AAS})$

∴$AF=BE$

设$AF=BE=x，$则$CE=BC+BE=8+x$

∵$∠F=∠E，$$∠AGF=∠CGE$

∴$△AGF∽△CGE$

∴$\frac {AF}{CE}=\frac {GA}{CG}=\frac 13$

∴$\frac x{8+x}=\frac 13$

解得$x=4$

∴$AF=4$

解：$(1)$相切，理由如下

连接$BC$

∵$∠EAB=∠ADB$

∴$∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠ADB+∠BAC=∠ACB+∠BAC$

∵$AC$是$\odot O$的直径

∴$∠ABC=90°$

∴$∠EAC=∠ACB+∠BAC=90°$

∴$AE$与$\odot O$相切

$(2)$相似，理由如下：

∵$△AEF$是直角三角形，点$B$是$EF$的中点

∴$BA=BF$

∴$∠BAC=∠AFE$

∵$∠EAF=∠ABC=90°$

∴$△AEF∽△BCA$

$(3)$∵$△AEF∽△BCA$

∴$\frac {AF}{AB}=\frac {EF}{AC}$

∵$AF=4，$$CF=2$

∴$AC=6$

∵$AB=\frac 12EF$

∴$\frac 4{\frac 12EF}=\frac {EF}6$

∴$EF=4\sqrt 3$

在$Rt△AEF $中，∵$EF=4\sqrt 3，$$AF=4$

∴$AE=\sqrt {EF^2-AF^2}=4\sqrt 2$

解：$(1)$∵$△PQC$的面积与四边形$PABQ$的面积相等

∴$S_{△ABC}=2S_{△PQC}$

∵$PQ//AB$

∴$△ABC∽△PQC$

∴$\frac {CP}{AC}=\frac {\sqrt 2}2$

∵$AC=4$

∴$CP=2\sqrt 2$

$(2)$∵$△ABC∽△PQC$

∴$\frac {CP}{CQ}=\frac {AC}{BC}=\frac 43$

设$CP=4x，$则$CQ=3x，$$PA=4-4x，$$QB=3-3x$

∵$△PQC$的周长与四边形$PABQ$的周长相等

∴$CP+CQ=PA+QB+AB$

∴$4x+3x=(4-4x)+(3-3x)+5$

解得$x=\frac 67$

∴$CP=4x=\frac {24}{7}$

$(3)$分两种情况

①过点$P$作$PM⊥AB，$垂足为点$M，$要使$△PQM$为等腰直角三角形，则$PM=PQ$

∵$△PQC∽△ABC，$$PM=PQ$

∴$\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-PM}{\frac {12}{5}}=\frac {\frac {12}{5}-PQ}{\frac {12}{5}}$

∴$PQ=\frac {60}{37}$

②当$∠PMQ=90°$时，要使$△PQM$为等腰直角三角形，则有$\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-\frac 12PQ}{\frac {12}{5}}$

解得$PQ=\frac {120}{49}$

综上所述，$PQ$的长为$\frac {60}{37}$或$\frac {120}{49}$