解：$(1) \frac {1}{3} ×100×101×102=343400 $
$(2)$∵$1×2=\frac {1}{3} (1×2×3-0×1×2)，$$2×3=\frac {1}{3} (2×3×4-1×2×3)，$
$3×4=\frac {1}{3} (3×4×5-2×3×4)，$···，$n(n+1)=\frac {1}{3} ([n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$
∴$1×2+2×3+···+n(n+1)$
$=\frac {1}{3} [1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-4×3×4+···+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$
$=\frac {1}{3}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)$
$ (3)$根据$(2)$的计算方法，$1×2×3=\frac {1}{4} (1×2×3×4-0×1×2×3)，$
$2×3×4=\frac {1}{4} (2×3×4×5-1×2×3×4)，$···，
$n(n+1)(n+2)=\frac {1}{4} [n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]$
∴$1×2×3+2×3×4+···+n(n+1)(n+2)$
$=\frac {1}{4} [1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+···+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1)n(n+1)(n+2)]$
$=\frac {1}{4}\ \mathrm {n}(n+1)(n+2)(n+3)$
