解：$(1)$木块的体积$V_{木}=0.1\ \mathrm {m}×0.1\ \mathrm {m}×0.1\ \mathrm {m}=0.001\ \mathrm {m^3}=1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}，$
根据题意可知，木块漂浮在水面上时排开水的体积
$V_{排}=(1-\frac {1}{4})V_{木}=\frac {3}{4}\ \mathrm {V}_{木}=\frac {3}{4}×1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}=7.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$
木块漂浮时受到的浮力：
$F_{浮}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{排}=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×7.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=7.5\ \mathrm {N}；$
$(2)$根据物体的浮沉条件可知：$G_{木}=F_{浮}=7.5\ \mathrm {N}，$
根据$G=mg$可知，木块的质量：$m_{木}=\frac {G_{木}}{g}=\frac {7.5\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=0.75\ \mathrm {kg}，$
木块的密度：$ρ_{木}=\frac {m_{木}}{V_{木}}=\frac {0.75\ \mathrm {kg}}{1×10^{-3}\ \mathrm {m^3}}=0.75×10^3\ \mathrm {kg/m^3}；$
$(3)$当细绳断裂前一瞬间，由力的平衡条件可得：$F_{浮}'+F_{最大}=G_{木}，$
则细绳断裂瞬间木块受到浮力：$F_{浮}'=G_{木}-F_{最大}=7.5\ \mathrm {N}-4\ \mathrm {N}=3.5\ \mathrm {N}，$
由$F_{浮}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{排}$可知，木块此时排开水的体积：$V_{排}'=\frac {F_{浮}'}{ρ_{水}\ \mathrm {g}}=\frac {3.5\ \mathrm {N}}{1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}}=3.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}；$
$(4)$在细绳断开后木块再次漂浮时，浮力增加$4\ \mathrm {N}，$
由$F_{浮}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{排}$可知，排开水体积增加：$ΔV_{排}=\frac {ΔF_{浮}}{ρ_{水}\ \mathrm {g}}=\frac {4\ \mathrm {N}}{1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}}=4×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$
由$V=Sh$可知，水面上升：$Δh=\frac {ΔV_{排}}{S_{容}}=\frac {4×10^{-4}\ \mathrm {m^3}}{0.04\ \mathrm {m^2}}=0.01\ \mathrm {m}，$
水对容器底的压强增加量：$Δp=ρ_{水}\ \mathrm {g}Δh=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×0.01\ \mathrm {m}=100\ \mathrm {Pa}.$
