解：$(1)$由图像可知，石柱下表面离开水面后受到的拉力$F=12500\ \mathrm {N}，$
因石柱匀速上升时处于平衡状态，受到的重力和拉力是一对平衡力，
所以，石柱的重力$G=F=12000\ \mathrm {N}，$
由$G=mg$可得，石柱的质量：$m=\frac {G}{g}=\frac {12000\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=1200\ \mathrm {kg}；$
$(2)$由图像可知，石柱浸没时受到的拉力$F'=7000\ \mathrm {N}，$
则石柱浸没在水中受到的浮力：$F_{浮}=G-F'=12000\ \mathrm {N}-7000\ \mathrm {N}=5000\ \mathrm {N}；$
$(3)$因物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，
所以，由$F_{浮}=ρ_{液}\ \mathrm {gV}_{排}$可得，石柱的体积：$V=V_{排}=\frac {F_{浮}}{ρ_{水}\ \mathrm {g}}=\frac {5000\ \mathrm {N}}{1.0×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}}=0.5\ \mathrm {m^3}，$
则石柱的密度：$ρ=\frac {m}{V}=\frac {1200\ \mathrm {kg}}{0.5\ \mathrm {m^3}}=2.4×10^3\ \mathrm {kg/m^3}.$
