解：$(1)$设租用甲型挖掘机$x$台,租用乙型挖掘机$y$台
根据题意,得${{\begin{cases} {{x+y=8}}\\{60x+80y=540} \end{cases}}}，$
解得：${{\begin{cases} {{x=5}}\\{y=3} \end{cases}}}$
∴租用甲型挖掘机$5$台，租用乙型挖掘机$3$台
$(2) $设租用甲型挖掘机$m$台，则租用乙型挖掘机$\frac {540-60m}{80}$台
根据题意,得$100m+120×\frac {540-60m}{80}≤850，$解得$m≤4$
$∵m$为正整数，$∴m$可取$1，2，3，4$
将$m=1，2，3，4$分别代入$\frac {540-60m}{80}$
只有当$m=1$时$，\frac {540-60m}{80}=6$为整数,符合题意
∴符合条件的租用方案只有一种,即租用甲型挖掘机$1$台,租用乙型挖掘机$6$台
