解：$(1)$如图$1，$过点$P_{作}PQ∥AB，$
$∵AB∥CD，$
$∴PQ∥CD，$
$∵∠AEP=130°，$$∠PFD=80°，$
$∴∠QPF=80°，$$∠QPE=50°，$
$∴∠EPF=∠QPF-∠QPE=80°-50°=30°.$
$(2)$如图$2，$过点$P{作}PQ∥AB，$过点$N$作$NH∥CD，$
$∵AB∥CD，$
$∴PQ∥CD∥AB∥NH，$
$∵EM$平分$∠AEP，$$FN$平分$∠PFD，$
设$∠AEM=∠MEP=α，$$∠PEN=∠NFD=β，$
则$∠PEN+∠EPF=(180°-2α+α)+[2β-(180°-2α)]=α+2β，$
$∵∠PFN+∠ENF=β+(α+β)=α+2β，$
$∴∠PEN+∠EPF=∠PFN+∠ENF.$
$(3)$如图$3，$过点$P{作}PQ∥AB，$过点$G{作}GN∥CD，$
$∵AB∥CD，$
$∴PQ∥CD∥AB∥NG，$
$∵EH$平分$∠PEB，$$FH$平分$∠PFD，$$FG{平分}∠PFC，$
设$∠PEH=∠HEB=α，$$∠PFH=∠HFD=β，$$∠EPG=∠GPF=x，$
$∠PFG=∠GFC=y，$
则$2β+2y=180°，$
$∵2β=2x+2α，$
$∴2x+2y+2α=180°，$
$∴x+y=90°-α，$$∠PGF=∠PGN+∠NGF=2α+x+y=2α+90°-α=90°+α，$
当$PE∥FH$时，$∠EHF=α，$
$∴∠PGF-∠EHF=90°.$
