解：$(1)$设爆炸前$y$与$x$的函数表达式为$y= k_1x +b(k_1≠0)，$
由图可知，该函数图像过点$(0，$$4)、$$(7，$$46)，$
∴$\begin{cases}{b=4，}\\{7k_1+b=46，}\end{cases}$解得$\begin{cases}{k_1=6，}\\{b=4.}\end{cases}$
∴爆炸前$y$与$x$的函数表达式为$y=6x+4(0≤x< 7).$
设爆炸后$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac {k_2}x (k_2≠0)，$
由图可知，该函数图像过点$(7，$$46)，$
∴$ k_2=322. $
∴ 爆炸后$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac {322}x (x≥7).$
$(2)$在$y=6x+4$中，令$y=34，$即$6x+4=34，$
解得$x=5，$
$7-5=2(\mathrm h). $
∴ 撤离的最小速度为$3÷2=1.5(\ \mathrm {km/h}).$
$(3)$在$y=\frac {322}x$中，令$y=4，$即$\frac {322}x=4，$
解得$x=80.5.$
∴$80.5-7=73.5(\mathrm h)，$即矿工至少在爆炸后$73.5 \mathrm h$才能下井.
