解：$(1)$∵四边形$AOCB$为正方形，
∴$AB= BC=OC=OA.$
设点$B$的坐标为$(a，$$a)，$
∵$S_{△BOC}=8，$
∴$\frac 12a²=8$
∴$a=±4.$
又∵点$B$在第一象限
∴点$B$的坐标为$(4，$$4)，$
将点$B(4，$$4)$代入$y=\frac kx，$得$k= 16$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac {16}x$
$ (2)$∵运动时间为$t $秒，
∴$AE=t，$$BF=2t.$
∵$AB=4，$
∴$BE=4-t$
∴$S=\frac 12×(4-t)×2t=-t²+4t$
$ (3)$存在.
当$t=\frac 43$时，点$E$的坐标为$(\frac 43，$$4)，$点$F $的坐标为$(4，$$\frac 43)$
①作点$F $关于$x$轴的对称点$F_{1}，$得$F( 4，$$-\frac 43)$
设经过点$E、$$F_{1}$的直线的表达式为$y=ax+b，$
$ \begin{cases}{\dfrac 43a+b=4 } \\{4a+b=-\dfrac 43} \end{cases}，$解得$\begin{cases}{a=-2，}\\{b=\dfrac {20}3}\end{cases}$
∴直线$EF-1$的表达式为$y=-2x+\frac {20}3$
当$y=0$时，$x=\frac {10}3$
∴点$P $的坐标为$(\frac {10}3，$$0)$
②作点$E$关于$y$轴的对称点$E-1，$得$E(-\frac 43，$$4)，$
设经过点$E-1、$$F $的直线的表达式为$y=cx+d$
$ \begin{cases}{-\dfrac 43c+d=4 } \\{4c+d=\dfrac 43} \end{cases}，$解得$\begin{cases}{c=-\dfrac 12，}\\{d=\dfrac {10}3}\end{cases}$
∴直线$E-1F $的表达式为$y=-\frac 12x+\frac {10}3$
当$x=0$时，$y=\frac {10}3$
∴点$P $的坐标为$(0，$$\frac {10}3)$
综上所述：点$P $的坐标为$(\frac {10}3，$$0)$或$(0，$$\frac {10}3)$
