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解：$(1)$如图，三角形$A_1B_1C_1$即为所求

$(2)$三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$的面积$S=2×4- \frac {1}{2} ×1×2- \frac {1}{2} ×1×4-\frac {1}{2} ×2×2=8-1-2-2=3$

解:购买地毯至少需要$(2.6+5.8)×2×30=504($元)

解:因为$AB=6\ \mathrm {cm}，$$BC=8\ \mathrm {cm}，$$DG=3\ \mathrm {cm}，$$CF=4\ \mathrm {cm}，$所以$GE=3\ \mathrm {cm}，$$EC=4\ \mathrm {cm}.$

所以阴影部分的面积

$S=S_{三角形DEF}-S_{三角形GEC}=S_{三角形ABC}-S_{三角形GEC}=\frac {1}{2} ×6×8- \frac {1}{2} ×3×4=18(\ \mathrm {cm^2})$

1470平方米

1421平方米

108米