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解:解不等式①得$：4x+4≤7x+13$

$3x≥-9$

$x≥-3$

解不等式②得$：x-8＞3x-12$

$2x＜4$

$x＜2$

综上所述:不等式组的解集为$-3≤x＜2$

所以所有负整数解为$-3，-2，-1.$

解：设购买鲜肉粽$x$只，则购买蜜枣粽$(200-x)$只

由题意，得$5.5x+3.5(200-x)≤1000，$解得$x≤150$

$∵x$为整数

$∴x$的最大值为$150$

∴最多能购买鲜肉粽$150$只

解：$(1)$设该班的学生人数为$x$人，

根据题意得：$3x+20=4x-25，$

解得：$x=45.$

答：该班的学生人数为$45$人.

$(2)$设购买甲种树苗$y$棵，

则购买乙种树苗$(3×45+20-y)$棵，

根据题意得：$30y+40(3×45+20-y)≤5400，$

解得：$y≥80，$

$∴y$的最小值为$80.$

答：至少购买了甲树苗$80$棵.

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