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解:原式$=[(m-n)-3]^2$

$=(m-n)^2-6(m-n)+9 $

$=\ \mathrm {m^2}-2mn+n^2-6m+6n+9 $

解:原式$=[(2 x-3 y)(2 x+3 y)]^2 $

$= (4 x^2-9 y^2)^2$

$=16 x^4-72 x^2 y^2+81 y^4$

$a^2-b^2$

$(a+b)(a-b)$

解$：(2)$因为$S_{1}=S_{2}，$所以$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

解$：a^2+ab+(a+b)b$

$=a^2+ab+ab+b^2$

$=a^2+2ab+b^2$

$=(a+b)^2$

解$：a^2+\frac {[a+(a+b)]b}{2}+\frac {[a+(a+b)]b}{2}$

$=a^2+ab+\frac {1}{2}b^2+ab+\frac {1}{2}b^2$

$=a^2+2ab+b^2$

$=(a+b)^2$

解:【验证$】10$的一半为$5，5=1+4=1^2+2^2$

【探究$】(m+n)^2+(m-n)^2$

$=\ \mathrm {m^2}+2mn+n^2+\ \mathrm {m^2}-2mn+n^2$

$=2\ \mathrm {m^2}+2n^2$

$=2(\ \mathrm {m^2}+n^2)，$

故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示

为两个正整数的平方和