解$：(1)$因为$EF//GH，$所以$∠ECA=∠CAB=60°，$
所以$∠ECB=∠ACB+∠ECA=90°+60°=150° $
$(2)∠O$的度数保持不变
理由：如图，过点$O$作$OP//EF.$因为$EF//GH，$所以$EF//OP//GH.$
所以$∠COP=∠DCE，$$∠POQ=∠OQH，$$∠ECQ=∠CQH.$
因为$CD$平分$∠ACE，$$QT$平分$∠CQH，$
所以$∠DCE=\frac {1}{2} ∠ACE，$$∠OQH=\frac {1}{2} ∠CQH=\frac {1}{2} ∠ECB.$
所以$∠COP=\frac {1}{2} ∠ACE，$$∠POQ=\frac {1}{2} ∠ECB.$
所以$∠COQ=∠COP+∠POQ=\frac {1}{2} ∠ACE+ \frac {1}{2} ∠ECB=\frac {1}{2} (∠ACE+∠ECB)=\frac {1}{2} ∠ACB=\frac {1}{2} ×90°=45°.$
所以$∠O$的度数保持不变，始终是$45° $
$(3)$存在.
理由：因为$∠ACB=90°，$$∠A=60°，$
所以$∠APQ+∠CQP=360°-∠ACB-∠A=360°-90°-60°=210°.$
因为$EF//GH，$所以$∠FCB=∠CQP=n°.$所以$∠APQ+∠CQP=∠APQ+n°=210°.$
因为$∠APH=m∠FCB，$所以$∠APH=\ \mathrm {mm}°.$所以$mn°+n°=210°，$由此得出$n=\frac {210}{m+1}.$
因为点$A$在直线$EF、$$GH$之间(不含$EF、$$GH$上)，点$B$在$GH$下方，所以$30°< n°< 90°，$
即$mn°<180°，$$m、$$n$是正整数.
所以当$m=1$时，$n=\frac {210}{2}=105，$不合题意，舍去；
当$m=2$时，$n=\frac {210}{3}=70，$符合题意；
当$m=3$时，$n=\frac {105}{2} $不是正整数，舍去；
当$m=4$时，$n=\frac {210}{5}=42，$符合题意；
当$m=5$时，$n=35，$符合题意；
当$m=6$时，$n=\frac {210}{7}=30，$不合题意，舍去.
综上所述，$m=2，$$n=70$或$m=4，$$n=42$或$m=5，$$n=35$
