解：$(1)$容器排开水的体积：
$V_{排}=Sh_1=25\ \mathrm {cm}^2×10\ \mathrm {cm}=250\ \mathrm {cm}^3=2.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$
容器受到水的浮力为：
$F_{浮}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{排}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×2.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=2.5\ \mathrm {N}.$
$(2)$从容器中取出$100\ \mathrm {cm}^3$的液体后，
容器下表面所处的深度$h_2=6.8\ \mathrm {cm}=0.068\ \mathrm {m}，$
容器减少的浮力为：
$\triangle F_{浮}=ρ_{水}\ \mathrm {g}\triangle V_{排}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×2.5×10^{-3}\ \mathrm {m^2}×(0.1-0.068)m=0.8\ \mathrm {N}.$
减小的浮力等于减小的重力，
所以，$\triangle F_{浮}=G_{液减}=0.8\ \mathrm {N}，$
所以从容器中取出液体的质量为：$m=\frac {G_{液减}}{g}=\frac {0.8\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=0.08\ \mathrm {kg}=80\ \mathrm {g}，$
液体的密度为：$ρ=\frac {m}{V}=\frac {80\ \mathrm {g}}{100\ \mathrm {cm}^3}=0.8\ \mathrm {g/cm}^3.$
