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解：$(1)\frac {AC}{BC}=\frac {12}{9}=\frac {4}{3}$

$(2)t=1s$时，$AC=12\ \mathrm {cm}，$$BC=9\ \mathrm {cm}$

∵$∠DCE=90°$

∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=15(\mathrm {cm})$

$60÷15=4(\mathrm {s})$

∴当$t=4s$时，$AB=60(\mathrm {cm})$

解：$(1)$∵$AD=2，$$AE=1，$$∠DAE=90°$

∴$DE=\sqrt 5$

∴$EH=\sqrt 5，$$AF=AH=\sqrt 5-1，$$DF=2-(\sqrt 5-1)=3-\sqrt 5$

$(2)$由$AF^2=(\sqrt 5-1)^2=6-2\sqrt 5$

$AD · DF=2(3-\sqrt 5)=6-2\sqrt 5$

∴$AF^2=AD · DF，$即$\frac {AF}{AD}=\frac {DF}{AF}$

∴点$F$是$AD$的黄金分割点