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$\frac {1}{2}$

解：∵$OA=9，$$DA=12$

∴$OD=3$

∵$\frac {OC}{OD}=\frac {OB}{OA}$

∴$\frac {OB}{OC}=\frac {OA}{OD}=3$

又∵$OB+OC=BC=6$

∴$OB=4.5，$$OC=1.5$

解：$(1)$由等式得$a=kb，$$c=kd，$···，$m=kn$

∴$a+c+···+m=k(b+d+···+n)$

∴$\frac {a+c+···+m}{b+d+···+n}=k$成立

$(2)$由$(1)$的结论，可得$A'B'+B'C'+C'A'=2(AB+BC+CA)=30(\mathrm {cm})$