解：$(1) $设甲队单独做$x$天完成，乙队单独做$y$天完成，丙队单独做之天完成
由题意，得$\begin{cases}{ \dfrac 1x+\dfrac 1y=\dfrac 16 } \\{ \dfrac 1y+\dfrac 1z=\dfrac {1}{10} } \\{ \dfrac 1x+\dfrac 1z=\dfrac 23×\dfrac 15 } \end{cases}$解得：$\begin{cases}{ \dfrac 1x=\dfrac {1}{10} } \\{\dfrac 1y=\dfrac {1}{15} } \\{ \dfrac 1z=\dfrac {1}{30} }\end{cases}$
∴$\begin{cases}{x=10 } \\{ y=15 } \\{z=30 }\end{cases}$
∴甲、乙、丙三队单独完成全部工程分别需$10$天、$15$天、$30$天
$(2)$设甲队做一天应付给$a$元，乙队做一天应付给$b$元，丙队做一天应付给$c$元，则
$\begin{cases}{ 6(a+b)=87000 } \\{ 10(b+c)=80000 } \\{ 5(a+c)=55000 } \end{cases}，$解得：$\begin{cases}{a=8750 } \\{ b=5750 } \\{ c=2250 } \end{cases}$
∵要求不超过$15$天完成全部工程
∴丙队不符合
又$10a=87500，$$15b=86250，$且$86250<87500$
∴由乙队单独完成此项工程花钱最少
