解：$(1)$设该市一级水费、二级水费的单价分别为$ x $元$/$立方米、$ y$元$/$立方米
由题意, 得$ \{\begin{array}{l}10x=32\\12x+(14-12)y=51.4\end{array}，$解得 ：$\{\begin{array}{l}x=3.2\\y=6.5\end{array} $
∴该市一级水费、二级水费的单价分别为$ 3.2 $元$/$立方米、$6.5 $元$/$立方米.
$(2) $设该户该月用水量为$ a $立方米
由题意,得$ 3.2 ×12+6.5(a-12)=64.4， $解得$ a=16.$
∴该户该月用水量为$ 16 $立方米
