解：$(1)①$∵$∠BAD=α，$$∠BCD=β$
∴$∠ABC+∠ADC=360°-(∠BAD+∠BCD)=360°-(α+β)$
∵$∠MBC=180°-∠ABC，$$∠NDC=180°-∠ADC$
∴$∠MBC +∠NDC=360°-(∠ABC+∠ADC)=α+β$
∵$ α=50°，$$β=100°$
∴$∠MBC+∠NDC=150°$
②由①得$∠MBC+∠NDC=α+β$
∵$α+β=200°$
∴$∠MBC+∠NDC=200°$
$(2)①β-α=90°$
理由如下：如图①，连接$BD$
由$(1)，$得$∠MBC+∠NDC=α+β$
∵$BE，$$DF $分别平分$∠MBC，$$∠NDC$
∴$∠CBG=\frac {1}{2} ∠MBC，$$∠CDG= \frac {1}{2} ∠NDC$
∴$∠CBG+∠CDG= \frac {1}{2} (∠MBC+∠NDC)= \frac {1}{2} (α+β)$
在$△BCD$中，$∠CBD+∠BDC=180°-∠BCD=180°-β$
在$△BDG $中，$∠GBD+∠GDB +∠BGD=180°$
∴$∠CBG +∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°$
∴$(∠CBG+∠CDG)+(∠CBD+∠BDC)+∠BGD=180°$
∵$∠BGD=45°$
∴$\frac {1}{2} (α+β)+180°-β+45°=180°$
∴$β-α=90°$
$②α=β$
理由如下：如图②，延长$BC$交$DF$于点$H$
由$(1)$得$∠MBC+∠NDC=α+β$
∵$BE，$$DF $分别平分$∠MBC，$$∠NDC$
∴$∠CBE=\frac {1}{2} ∠MBC，$$∠CDH= \frac {1}{2} ∠NDC$
∴$∠CBE+∠CDH= \frac {1}{2} (∠MBC+∠NDC)= \frac {1}{2} (α+β)$
∵$BE//DF$
∴$∠DHC=∠CBE$
∴$∠BCD=∠DHC+∠CDH=∠CBE+∠CDH=\frac {1}{2} (α+β)$
又$∠BCD=β$
∴$\frac {1}{2} (α+β)=β$
∴$α=β$
