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解：$(1) $解方程组$ \{\begin{array}{l}x+y=-7-a\\x-y=1+3a\end{array} $得$ \{\begin{array}{l}x=a-3\\y=-2a-4\end{array}$

由题意，得$ \{\begin{array}{l}x \leqslant 0\\y<0\end{array}，$即$ \{\begin{array}{l}a-3 \leqslant 0\\-2a-4<0\end{array} $

解得$ -2< a \leqslant 3$

∴$a $的取值范围是$ -2<a \leqslant 3$

$(2) $不等式$ 2ax+x<2a+1 $即为$ (2a+1) x< 2a+1$

∵该不等式的解集为$ x>1$

∴$2a+ 1<0，$解得$ a<-\frac {1}{2}$

由$ (1)$得$ -2<a \leqslant 3$

∴$-2<a<-\frac {1}{2}$

∵$a $为整数

∴整数$ a $的值为$ -1 $

解：$(1) $设$ 1 $辆大货车一次可以运货$ x\ \mathrm {t}，$$1 $辆小货车一次可以运货$ y\ \mathrm {t}$

由题意，得$ \{\begin{array}{l}3x+4y=29\\2x+6y=31\end{array}，$解得$ \{\begin{array}{l}x=5\\y=3.5\end{array} $

∴$1 $辆大货车一次可以运货$ 5\ \mathrm {t}，$$1 $辆小货车一次可以运货$ 3.5\ \mathrm {t}$

$(2) $设该货运公司安排$m $辆大货车运货，则安排$(10-m)$辆小货车运货

由题意，得$ 5m+3.5(10-m)≥46.4，$解得：$m≥7.6$

∵$m $是自然数，且$m≤10$

∴$m $可取$8，$$9，$$10$

当$m=8$时，$10-m=2，$则费用为$500×8+300×2=4600($元)；

当$ m=9$时，$10-m=1，$则费用为$500×9+300×1=4800($元)；

当$ m=10$时，$10-m=0，$则费用为$500×10=5000($元)

∵$4600<4800<5000$

∴该货运公司安排$8$辆大货车和$2$辆小货车运货最节省费用，最低费用为$4600$元