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解：$(1)$甲：平均数：$(4+5×5+7+9+12+13)÷10=8($年)，

中位数：$(5+7)÷2=6($年)，众数：$5$年

乙：平均数：$(6×2+8×3+9+10+12+14+15)÷10=9.6($年)，

中位数：$(8+9)÷2=8.5($年)，众数：$8$年

丙：平均数：$(4×3+6+7+9+13+15+16×2)÷10=9.4($年)，

中位数：$(7+9)÷2=8($年)，众数：$4$年

$ (2)$甲厂用的平均数，乙厂用的众数，丙厂用的中位数

$ (3)$会选择乙厂，因为乙厂的平均数、众数、中位数都较大

$ 解：(1)P(获得200元购物券)=\frac 1{20}$

$ P(获得100元购物券)=\frac 2{20}=\frac 1{10}$

$ P(获得20元购物券)=\frac 4{20}=\frac 15$

$ (2)平均数是：200×\frac 1{20}+100×\frac 1{10}+20×\frac 15=24(元)$

$ ∴获得购物券金额的平均数是24元$

$ 解：一共有6种等可能的结果，其中和为偶数的有3种，和为奇数的有3种$

$ ∴P(和为偶数)=\frac 36=\frac 12，P(和为奇数)=\frac 36=\frac 12$

$ P(和为偶数)=P(和为奇数)$

$ ∴这个游戏公平$