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解：$(1)y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$

∴点$A$的坐标为$(1，$$-2)$

对称轴为直线$x=1$

∵点$B$在$x=1$上

∴点$C$与点$O$关于$x=1$对称

设点$C$的坐标是$(m，$$0)$

则有$m+0=2，$$m=2$

∴点$C$的坐标为$(2，$$0)$

$(2)$四边形$AOBC$为菱形

∴由对称性可得点$B$的坐标为$(1，$$2)$

将$B(1，$$2)、$$C(2，$$0)$代入$y=ax^2+bx，$可得

$\begin{cases}a+b=2\\4a+2b=0\end{cases} $ 解得$\begin{cases}a=-2\\b=4\end{cases}$

∴$y=-2x^2+4x$

$(1)$证明：∵$DO⊥AB $

∴$∠DOB=∠DOA=90°$

∴$∠DOB=∠ACB$

∵$∠B=∠B$

∴$△DOB∽△ACB$

$(2)$解：∵$∠ACB=90° $

∴$AB=\sqrt {AC^2+BC^2}=\sqrt {6^2+8^2}=10$

∵$AD$平分$∠CAB，$$DC⊥AC，$$DO⊥AB $

∴$DC=DO$

在$Rt△ACD$和$Rt△AOD$中

$\begin{cases}AD=AD\\DC=DO\end{cases}$

∴$Rt△ACD≌Rt△AOD(\mathrm {HL})$

$AC=AO=6$

设$BD=x，$则$DC=DO=8-x，$$OB=AB-AO=4$

在$Rt△BOD$中，由勾股定理得，$DO^2+OB^2=BD^2，$即$(8-x)^2+4^2=x^2$

解得$x=5$

∴$BD$的长为$5$

$(3)$∵点$B'$与点$B$关于直线$DO$对称

∴$∠B=∠OB'D，$$BO=B'O，$$BD=B'D$

∵$∠B$是锐角

∴$∠OB'D$也为锐角

∴$∠AB'D$为钝角

∴当$△AB'D$为等腰三角形时，$AB'=DB'$

∵$△DOB∽△ACB$

∴$\frac {OB}{BD}=\frac {BC}{AB}=\frac 8{10}=\frac 45$

设$BD=5x，$则$AB'=DB'=5x，$$BO=B'O=4x$

∵$AB'+B'O+BO=AB$

∴$5x+4x+4x=10$

解得$x=\frac {10}{13}$

∴$BD=\frac {50}{13}$