解：$(1) $∵$P Q \perp A B$
∴$\angle E Q B=\angle C= 90° $
∴$\angle B E Q+\angle E B Q=90°，$$ \angle C B D+\angle P D E=90° $
∵$B D $为$ \angle A B C $的平分线
∴$\angle C B D= \angle E B Q$
∴$\angle B E Q=\angle P D E $
又 ∵$\angle P E D=\angle B E Q$
∴$\angle P D E=\angle P E D $
若点$ P $是线段$ A C $延长线 上(如图①)
∵$P Q \perp A B$
∴$\angle E Q B=\angle A C B=90°$
∴$\angle A=\angle B M Q$
∵$\angle P D E=\angle A+\angle E B Q ，$$ \angle P E D=\angle B M Q+\angle C B D，$$ \angle C B D=\angle E B Q$
∴$\angle P D E=\angle P E D $
$ (2) $当$ P $在线段$ A C $上时， 如图 ②， 此时$ P F //B D ，$ 理由：
∵$\angle P D E=\angle P E D$
∴$\angle D P E+2 \angle P E D=180° $
∵$P F $为$ \angle C P Q $的平分 线
∴$\angle C P F=\angle Q P F$
∵$\angle D P E+2 \angle E P F=180°$
∴$\angle E P F=\angle P E D $
∴$P F / / B D $
当$ P $在线段$ A C $延长线上时， 如图③，$ P F \perp B D . $理由：
∵$\angle P D E+\angle D P M+\angle D M P=180°，$$ \angle P E M+\angle E P M+ \angle E M P=180° $
且$ \angle P D E=\angle P E D，$$ \angle C P F=\angle Q P F$
∴$\angle D M P=\angle E M P $
∵$\angle D M P+\angle E M P= 180°$
∴$\angle D M P=\angle E M P=90° $
∴$P F \perp B D $
