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解：$AD∶BE=2∶3$

∵$S_{△ABC}=\frac 12×AD×BC=\frac 12×AC×BE$

且又∵$AC∶BC=2∶3$

∴$AD∶BE=2∶3$

解：∵$BD$平分$∠ABC$

∴$∠ABD=∠DBC$

∵$DE//BC $

∴$∠1=∠DBC$

∵$DF//AB $

∴$∠2=∠ABD$

∴$∠1=∠2 $

解：D、E、F分别为所在边的中点，如图所示，M是CF的中点，N是CE的中点

证明： ∵$D E / / A B$

∴$\angle E D A=\angle B A D $

∵$D F / / A C$

∴$\angle F D A= \angle E A D$

∵$A D $是$ \triangle A B C $的角平分线

∴$\angle E A D=\angle B A D$

∴$\angle E D A=\angle F D A$

∴$O D $是$ \triangle D E F $的角平分线

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