解：$(1)$设$1$辆小客车坐满后可送学生$x$人，$1$辆大客车坐满后一次可送$y$名学生
$\begin{cases}3x+y=105\\x+2y=110\end{cases} $ 解得$\begin{cases}x=20\\y=45\end{cases}$
∴$x+y=65$
答：$1$辆小客车和$1$辆大客车坐满后可送学生$65$人。
$(2) 20a+45b=400，$$a=\frac {80-9b}4$
非负整数解有$\begin{cases}a=20\\b=0\end{cases}；$$\begin{cases}a=11\\b=4\end{cases}；$$\begin{cases}a=2\\b=8\end{cases}$
∴ 一共有$3$种方案
①小客车$20$辆，大客车$0$辆；②小客车$11$辆，大客车$4$辆；③小客车$2$辆，大客车$8$辆
$(3)①20×800=16000($元) ；$②11×800+4×1500=14800($元)；
$③2×800+8×1500=13600($元)
∴租小客车$2$辆，大客车$8$辆最省钱。
