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$ 1<x≤9$

解：设需要中国结$x$个，则直接购买需$10x$元，自制需$(4x+200)$元

若$10x<4x+200$得$x<33\frac 13$

∴即少于$34$个时，到商店购买更便宜

若$10x>4x+200，$得$x>33\frac 13$

∴不少于$34$个时，自己制作更便宜

解：$400×5\%=20$

设所含矿物质的质量为$xg，$则所含碳水化合物的质量

为$(400-20-5x)g，$即$(380-5x)g$

$ 4x+(380-5x)≤400×85\%，$$x≥40$

$ 380-5x≤180$

答：所含碳水化合物质量的最大值为$180g。$

4≤a<5

<

<

=

<

解：$(2)$当$x$取任意实数时，$ 2xy≤x^2+y^2$

理由：$x^2+y^2-2xy=(x-y)^2$

∵$(x-y)^2≥0$

∴$x^2+y^2≥2xy$

$(3) $由$(2)$可得$a^2+b^2≥2ab$

若$ab=12，$则$a^2+b^2≥24$

∴$2a^2+2b^2≥48$

∴$2a^2+2b^2$的最小值为$48$

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