解：$(1)∠A+∠D=∠C+∠B$
$(3)$由$(1)$得$∠DAP+∠D=∠P+∠DCP ①$
$∠PCB+∠B=∠PAB+∠P ②$
由①+②，得$∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P$
∵$∠DAB、$$∠BCD$的平分线$AP$和$CP$相交于点$P$
∴$∠DAP=∠PAB，$$∠DCP=∠PCB，$即$2∠P=∠D+∠B$
∵$∠D=40°，$$∠B=36°$
∴$2∠P=76°$
∴$∠P=38°$
$(4)2∠P=∠D+∠B$
