第35页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

解：$ \angle A E C=\angle A F C ，$ 理由是：

连接$ A C $交$ B D $于点$ O$

∵四边形$ A B C D $是平行四边形

∴$O A=O C，$$ O B=O D $

又 ∵$D E=B F$

∴$O E=O F $

∴四边形$ A F C E $是平行四边形

∴$\angle A E C=\angle A F C $

证明： ∵四边形$ A B C D $是平行四边形

∴$O D=O B，$$ O A=O C，$$ A B / / C D$

∴$\angle D F O=\angle B E O，$$ \angle F D O=\angle E B O$

∴$\triangle F D O ≌ \triangle E B O$

∴$O F=O E$

∴四边形$ A E C F $是平行四边形

解：$ A F=B E，$$ A F / / B E ，$ 理由是：

连接$ A E 、$$ B F$

∵$A C / / B D$

∴$\angle C=\angle D$

在$ \triangle A O C $和$ \triangle B O D $中

$\begin{cases}{∠C=∠D}\\{∠COA=∠DOB}\\{AO=BO}\end{cases}$

∴$\triangle A O C ≌ \triangle B O D (\mathrm {AAS})$

∴$C O=D O $

∵$E 、$$ F $分别是$ O C 、$$ O D $的中点

∴$E O=\frac 12 \mathrm C O，$$ F O=\frac 12 \mathrm D O$

∴$E O=F O$

又 ∵$A O=B O$

∴四边形$ A F B E $是平行四边形

∴$A F=B E，$$ A F / / B E $

解：假设等腰三角形的底角不是锐角，则为直角或钝角

根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于$ 180° $

则该三角形的三个内角和一定大于$ 180° $

这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立

∴等腰三角形的底角是锐角

证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD=BC$

∵$△ADE$和$△BCF$是等边三角形

∴$AD=DE，$$BC=BF$

∴$DE=BF$

∵$DE//BF$

∴$∠DEP=∠BFP$

在$△PDE$和$△PBF $中

$ \begin{cases}∠DEP=∠BFP\\∠DPE=∠BPF\\DE=BF\end{cases}$

∴$△PDE≌△PBF(\mathrm {AAS})$

∴$EP=FP$