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证明：连接$BD，$交$AC$于点$O$

∵四边形$ABCD$是菱形

∴$BO=DO，$$AO=CO，$$BD⊥AC$

又$AE=CF$

∴$EO=FO$

∴四边形$DEBF $是菱形

证明：∵$AD // BC$

∴$∠ADB=∠2$

∵$∠1=∠2$

∴$∠ADB=∠1$

∴$AB= AD$

∵$AB = BC$

∴四边形$ABCD$是平行四边形

∵$AB= BC$

∴四边形$ABCD$是菱形

证明：$(1)$四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AO=CO，$$∠FAO=∠ECO，$$∠AOF=∠COE$

∴$△AOF≌△COE$

∴$AF= EC$

$(2)$当旋转角$∠AOF = 90°$时，四边形$ABEF $是平行四边形

当旋转角$∠AOF = 45°，$四边形$BEDF $是菱形

对“当旋转角$∠AOF = 90°，$四边形$ABEF $是平行四边形”加以证明

当$∠AOF = 90°$时，$AB //EF$

又∵$AF//BE$

∴四边形$ABEF $是平行四边形

解：根据三个角是直角可得矩形，

再由一组邻边相等可得正方形

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