证明：$(1)$在四边形$ABCD$中
∵$E、$$F、$$G、$$H$分别是$AD、$$BC、$$BD、$$AC$的中点，
∴$FG= \frac {1}{2}CD，$$HE =\frac {1}{2}CD，$$FH=\frac {1}{2}AB，$$GE=\frac {1}{2}AB$
∵$AB = CD$
∴$FG=FH= HE= EG.$
∴四边形$EGFH$是菱形
$(2)$解：在四边形$ABCD$中，$G，$$F，$$H$分别是$BD、$$BC、$$AC$的中点
∴$GF //DC，$$HF//AB$
∴$∠GFB=∠DCB，$$∠HFC=∠ABC$
∴$∠HFC+∠GFB =∠ABC+∠DCB =90°$
∴$∠GFH=90°$
∴菱形$EGFH$是正方形
∵$AB=1$
∴$EG=\frac {1}{2}AB=\frac {1}{2}$
∴正方形$EGFH$的面积$=(\frac {1}{2})²=\frac {1}{4}$
