$(1)$证明：∵$AF//BD，$且$AF=BD$
∴四边形$AFBD$为平行四边形
∵$AF//BC$
∴$∠AFE=∠DCE，$$∠FAE=∠CDE$
∵$AE=DE$
∴$△AEF≌△DEC$
∴$AF =CD$
又∵$AF= BD$
∴$BD= CD$
$(2)$解：∵$AF= BD，$$AF // BD$
∴四边形$AFBD$是平行四边形
又$AB = AC，$$D$是边$BC$的中点
∴$∠ADB = 90°$
∴四边形$AFBD$是矩形
