解：$(1)$如图所示
$ (2)△AEF$是等腰直角三角形
由旋转的性质可得，$AE=AF，$$∠DAE=∠FAB$
$ ∴∠FAB+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90°$
$ ∴△AEF$是等腰直角三角形
$ (3)∵S_{四边形AECF}=S_{四边形ABCE}+S_{△ABF}，$$S_{△ABF}=S_{△ADE}$
$ ∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形ABCE}+S_{△ADE}=S_{四边形AECF}=25$
$ ∴AD=5$
∴在$Rt△ADE$中，$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{29}$
