证明：$(1) $取$ A D $的中点$ F ，$ 连接$ F M$
∵$\angle A=90°$
∴$\angle A D M+\angle A M D=90° $
∵$M N \perp D M $
∴$\angle A M D+\angle B M N=90° $
∴$\angle A D M=\angle B M N①$
∵四边形$ A B C D $是正方形，$ M 、$$ F $分别是$ A B 、$$ A D $的中点
∴$D F=A F=A M=B M$
∵$\angle A=90°$
∴$\angle A F M=\angle A M F=45°，$$ \angle D F M=135° $
∵$B N $是$ \angle C B E $的平分线
∴$\angle C B N=45°，$$ \angle D F M=\angle M B N=135° ②$
∵$D F=B M③$
∴$\triangle D F M ≌ \triangle M B N (\mathrm {ASA})$
∴$D M=M N $
解：$ (2) $结论$ “ D M=M N ” $仍成立. 证明：
在$ A D $上截取$ A F^{\prime}=A M ，$ 连接$ F^{\prime} \mathrm M $
∵$D F^{\prime}=A D-A F^{\prime}，$$ B M=A B-A M，$$ A D=A B，$$ A F^{\prime}=A M$
∴$D F^{\prime}=B M$
∵$\angle F^{\prime} \mathrm D M+ \angle D M A=\angle B M N+\angle D M A=90°$
∴$\angle F^{\prime} \mathrm D M=\angle B M N $
又$ \angle D F^{\prime} \mathrm M=\angle M B N=135° $
在$ \triangle D F^{\prime} \mathrm M $和$ \triangle M B N $中
$ \begin{cases}\angle F^{\prime} \mathrm D M=\angle B M N\\D F^{\prime}=B M\\\angle D F^{\prime} \mathrm M=\angle M B N\end{cases}$
∴$\triangle D F^{\prime} \mathrm M ≌ \triangle M B N $
∴$D M=M N $
