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$ \begin{aligned}解:原式&=\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)²}·\frac{a-1}{a+1}·\frac{1-a}{1+a} \\ &=\frac{1-a}{1+a}. \\ \end{aligned}$

$ \begin{aligned}解:原式&=\frac{(a-3)^{2} }{a-2}÷\frac{4-a²+5}{2-a} \\ &=\frac{(a-3)^{2} }{a-2}·\frac{2-a}{(3-a)(3+a)} \\ &=\frac{(a-3)^{2} }{a-2}·\frac{a-2}{(a-3)(a+3)} \\ &=\frac{a-3}{a+3}. \\ \end{aligned}$

$由题意可知\frac{a-1}{2}≤1，解得a≤3. $

$∵a是使不等式\frac {a-1}{2}≤1成立的正整数，$

$且 a-2≠0，a-3≠0， $

$∴a=1，$

$∴原式=\frac{1-3}{1+3}=-\frac{1}{2}.$

$ \begin{aligned} 解:原式&= \frac{x+3}{(x-1)²} ·\frac{x-1}{x(x+3)} + \frac{1}{x} \\ &= \frac{1}{x(x-1)} + \frac{x-1}{x(x-1)} \\ &= \frac{x}{x(x-1)} \\ &= \frac{1}{x-1} ， \\ \end{aligned}$

$当x=1+ \sqrt{3} 时，原式= \frac{1}{1+\sqrt{3}-1} =\frac {\sqrt{3}}{3}.$